Die Quadratur des (mittels) Rechtecks – Approximations-“Regel“

(1) Es kann im „Alltags-“leben der (spezielle) Fall gegeben sein, daß „nur“ die unregelmäßige Flächengröße beispielsweise einer Arbeits- oder Grundstücksfläche bekannt ist und es gilt, die Größe in Rechteck- bzw. Quadratform approximativ zu bestimmen d.h. ohne weiteres Hilfsmittel wie Taschenrechner, PC, Abakus o.ä.

Da die meisten Menschen nicht über ein außerordentliches Rechentalent verfügen, das es ihnen „im Kopf“ ermöglicht, aus jeder beliebigen Zahl wie z.B. 500 (m²) die Wurzel zu ziehen, kann es nützlich sein, folgende, allerdings ebenso mathematische „Methode“ einzusetzen, bei der man -allerdings- ebenso -einmalig- darauf verwiesen ist, die Wurzel zu ziehen- nämlich √ 2. (approximativ: 1,4). Bei diesem Wert (ca. 1,4) handelt es sich offenkundig nicht um eine Zahl wie die Zahl π (ca. 3,14), die als „transzendent“ d.h. (a priorisch) gegeben bezeichnet wird, obwohl sie m.E. (s. Elena Becker Quadratur des Kreises- ein Lösungsweg) wie √ 2 (v.a.) rechnerisch zu ermitteln ist und darüberhinaus wie √ 2 offenbar eine (physikalische) „Naturkonstante“ ist.

Die Zahl √ 2 ist, analog zu π, die beim (Thales-)Kreis als konstanter Faktor vorkommt, derjenige Wert, der sich bei der Berechnung von Quadratseiten (a=a), also der Wurzel der Quadratfläche (A= 2 a²) ergibt. (Fig.1) Bei der bloßen Schätzung von „Quadrat“- Seiten einer beliebig geformten Fläche, kann deshalb auf diesen Faktor zurückgegriffen werden, wenn man von einem „Rechteck“ ausgeht, bei dem die Länge und Breite (quasi) auf die -gleichen- Seitenlängen (d=d) eines „diagonalen“ Quadrats verschoben werden könnten und man so die Wurzel der Fläche erhält.

Fläche A(Quadrat groß) = a² + a²= 2a²

Fig. 1

d a=1; A(d)= 2; es folgt: d= √ 2 (ca. 1,4)

(2)Regel zur Schätzung (Quadrierung) unregelmäßiger Flächen mittels „Verschiebe“- Rechtecks.

Der Weg ist nun folgender, sich (beispielsweise) bei der bekannten Fläche von 500 m² ein imaginäres Rechteck (Fig. 2) vorzustellen, bei der der „Einfachheit“ halber die Breite des Rechtecks R (b R) mit der Hälfte von 10 m (=5m) festgelegt wird, die Längenseite (l R) mit der Hälfte(!) des Quotienten von 500 : 10, also 25 m. Die Summe der beiden (einfachen) Seiten (b+l), die analog zum „Thalesquadrat“ miteinander addiert werden, muß nun in Entsprechung zum „idealen“ Quadrat mit √ 2 in (umgekehrte) Relation gesetzt werden, also „geteilt“ durch √ 2. d.h. ca. um ein Drittel weniger.

(Beispiel) Fläche (unregelmäßig)=500m²

Fig. 2 Länge (Rechteck): ca. 25

Breite (Rechteck): ca. 5

Seiten Quadrat:

(25 + 10) : √2 = ca. 21 m > 22m (= Quadrat _R √500)

L(Quadrat) _R =B(Quadrat) _R= ca. >22<24 m

Rechteck R 10m x 25m

Diese Methode bzw. Operation gilt entsprechend für jegliche Flächengrößen wie z.B. 300 m², 700 m² dann beträgt die Breite der Rechtecke (300m², 700 m²) stets die Hälfte von 10 m (=50 m) , während die Längen je nach den Flächengrößen variabel sind, also l (300m²) = 15 m ; l (700 m²)= 35m.

Daraus ergeben sich die Seiten der approximativen Quadrate : b=l (300 m²)= ca. 17 m ;

b=l (700m²)= 28 m ( zu √700= 26; Abweichung ca. 7%)

Ab 1000 m² ändern sich die Seitenlängen bzw. die Länge des Bezugsrechtecks offenbar durch einen weiteren Faktor von 2, den man bei den vorhergehenden Operationen ebenso mit 2 ⁰(hoch null) = 1 ansetzen kann. Dann betragen bei den Flächen von 1000 m²; 4000 m²die Flächenseiten b (1000m²): 50m ; ebenso b (4000m²) = 50m; die Längenseiten l (1000m²) beträgt 2x 50m ; l (4000m²)= 2x20m= 40m oder „einfach“: (geteilt durch) 100.

Wie bei jeder approximativen Methode „kommt“ man mehr oder weniger gut d.h. mit Abweichung an die errechnete Zahl heran. Der der Quadratwurzel am nächsten an liegen dabei die Ergebnisse im „unteren“ (zweistelligen) Flächenbereich d.h. bis 1000m², analog im einstelligen Bereich (l,b: 10). E.B.